Leander Veizi ist in Albanien geboren und studierte an der National Ballet Academy in Tirana. Nach seinem Abschluss wurde er am dortigen Opernhaus engagiert. 2008 setzte er seine Ausbildung an der Scuola del Balletto di Toscana fort. In 2011/12 tanzte er in der Gauthier Dance Company am Theaterhaus Stuttgart in Choreografien von Jiri Kylián, Mauro Bigonzetti, Alejandro Cerrudo and Eric Gauthier. Ab der Spielzeit 2011/12 bis zum Sommer 2018 war er Mitglied im Ensemble des Ballett Vorpommern und wirkte in zahlreichen Hauptrollen mit. In Zusammenarbeit unter anderem mit Yaron Shamir, Lesley Telford, Bryan Arias und Maura Morales erarbeitete Leander Veizi auch Choreografien für die TanZZeiT. Von 2018 bis 2022 war er Ensemblemitglied des Tanz Theater Münster. Dort arbeitete er unter anderem mit Choreograf*innen wie Hans Henning Paar, Thomas Noone, Maura Morales und Tiago Manquinho.
Ab der Spielzeit 2022/23 ist Leander Veizi festes Mitglied der Tanzcompany am Theater Regensburg.