Richard Resch erhielt seine erste musikalische Ausbildung bei den Regensburger Domspatzen. Seine Gesangsstudien führten ihn an das Leopold-Mozart-Zentrum der Universität Augsburg sowie an die Schola Cantorum Basiliens, wo er unter anderem bei Hans-Joachim Beyer, Edda Sevenich und Dominik Wortig, sowie bei Evelyn Tubb und Anthony Rooley studierte. Richard Resch rundete seine Ausbildung u.a. bei Brigitte Fassbaender, Margreet Honig, Regina Resnik, Irvin Gage, Rudolf Jansen, Rudolf Piernay, Udo Reinemann, Wolfram Rieger und Gerd Türk ab. Er ist Preisträger internationaler Gesangswettbewerbe wie des „Concorso Internazionale Per Cantanti 'Toti dal Monte'“ in Treviso, des internationalen Opernwettbewerbes „Kammeroper Schloss Rheinsberg“ und des internationalen Gesangswettbewerbes „Gut Immling“. Die Stadt Augsburg würdigte ihn mit dem Kunstförderpreis der Stadt Augsburg. Richard Resch gastierte unter anderem an den Staatstheatern Augsburg und Braunschweig, sowie an der Bayerischen Staatsoper und der Opéra National de Bordeaux und arbeitete unter Dirigenten wie Howard Arman, Francesco Corti, Christoph Eschenbach, Paul Goodwin, Ton Koopman, Sigiswald Kuijken, Alexander Liebreich, Andrea Marcon, Marc Minkowski, Andrew Parrott, Philippe Pierlot, Hans-Christoph Rademann, Christophe Rousset, Helmuth Rilling, Johanna Soller, Andreas Spering, Jos van Veldhoven und Peter Whelan.
Zahlreiche Konzerte und Rundfunkübertragungen führen ihn durch ganz Europa, sowie nach Asien und Nord- und Südamerika, so zum Beispiel an das Beethovenfest in Bonn, das Schleswig-Holstein Musikfestival, das Musikfest Stuttgart, das Rheingau Musikfestival, die Salzburger Mozartwoche oder das Festival de Pâques in Aix-en-Provence. Kürzlich erschien bei Carpe Diem Records seine CD „Wenn ich nur Dich hab“ mit Meisterwerken der norddeutschen Barockmusik. Im Oktober 2023 folgte die Veröffentlichung von Franz Schuberts „Winterreise“ zusammen mit Diego Caetano bei Da Vinci Classics.